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引
在回归分析中，我们常常需要选取部分特征，而不是全都要，所以有前向法，后退法之类的，再根据一些指标设置停止准则。作者提出了一种LARS的算法，能够在有限步迭代后获得很好的结果，而且这种算法能够和LASSO和stagewise结合，加速他们的算法。在我看来，更为重要的是，其背后的几何解释。
可惜的是，证明实在太多，这方面的只是现在也不想去回顾了，就只能孤陋地把一些简单的东西记一下了。
一些基本的假设
线性回归，其系数假设为\(\beta=(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m)'\),给出预测向量\(\mu\)，则：\[ \mu = \sum \limits_{j=1}^m x_j \beta_j = X\beta, \quad [X_{n\times m} = (x_1, x_2, \ldots, x_m)] \] 均方误差为：\[ S(\beta) = \|y-\mu\|^2 = \sum \limits_{i=1}^n (y_i - \mu_i)^2 \] 用\(T(\beta)\)表示\(\beta\)的\(\ell_1\)范数：
\[ T(\beta) = \sum \limits_{j=1}^m |\beta_j|. \] 那么，Lasso通过下式求解：
而Forward Stagewise，以\(\widehat{\mu}=0\)开始，令：
表示当前X与\(y-\widehat{\mu}\)的关系，其中\(X'\)表示\(X\)的转置。 下一步，前进法选择当前关系中最大的部分：
注意到:\[ \widehat{c}_j = x_j'(y - \widehat{\mu}_{old})-\epsilon \cdot sign(\widehat{c}_{\hat{j}})=\widehat{c}_{\hat{j}}-\epsilon \cdot sign(\widehat{c}_{\hat{j}}) \] 所以，如果\(\epsilon=|\widehat{c}_{\hat{j}}|\)，那么\(\widehat{c}_j=0\)，这个时候，stagewise就成了普通的前进法了，这个方法是过拟合的（不懂啊，照本宣科，所以\(\epsilon\)改怎么选，我也不知道啊）。 文章给了俩种方法的一个比较：
俩个的效果是差不多的，但是，需要注意的是，这俩种方法的迭代次数是不定的。
LARS算法
我们从2个特征开始讨论，\(\bar{y}\)是\(y\)在\(x_1, x_2\)子空间的投影，以\(\hat{\mu}_0=0\)为起点，此时\(\bar{y}_2\)与\(x_1\)的角度更加小(以锐角为准），所以，\(\hat{\mu}_1=\gamma x_1\)，相当于我们选取了特征\(x_1\), 也就是说\(\beta_1=\gamma\)。
现在的问题是，\(\gamma\)该怎么选呢，LARS是这么选的，\(\gamma\)使得\(\bar{y}_2-\hat{\mu}_1\)与\(x_1, x_2\)的角度相等，因为这个点俩个特征的重要性是一致的。接着\(\hat{\mu}_2=\hat{\mu}_1+\gamma_2 u_2\),\(\gamma_2u_2=\bar{y}_2-\hat{\mu}_1\)。 这么做，我们将\(y\)在子空间中的投影\(\bar{y}_2\)抵消了。为了将这种思想推广到更多特征，需要介绍一些符号和公式。
假设\(\widehat{\mu}_{\mathcal{A}}\)是当前的LARS的估计，那么：
指示集\(\mathcal{A}\)是由下式定义的：
令：
注意，这样子，就能令\(s_jx_j'(y-\widehat{\mu}_{\mathcal{A}})=|\widehat{c}_j|, j\in \mathcal{A}\) 用\(X_{\mathcal{A}}, A_{\mathcal{A}}, u_{\mathcal{A}}\)依照上面定义，令：
于是，下一步的更新为：
现在的问题是\(\widehat{\gamma}\)应该怎么选，我们先来考察\(c_j(\gamma)\):
所以，对于\(j \in \mathcal{A}\), \(c_j(\gamma)\)的变换程度是一致的：
\(\gamma \ge 0, A_{\mathcal{A}}\ge0\),(后者是公式所得，前者是为了减少相关度所必须的)，所以，当\(\gamma\)从0开始慢慢增大的时候，\(|c_j(\gamma)|\)也会慢慢变小，到一定程度，势必会有\(j \in \mathcal{A}^c\), 使得\(\widehat{C}-\gamma A_{\mathcal{A}} \le |c_j(\gamma)|\)，换句话说，我们只要找到\(\widehat{C}-\gamma A_{\mathcal{A}} = |c_j(\gamma)|, j \in \mathcal{A}^c\)的最小\(\gamma\),且\(\gamma > 0\)，否则，\(\gamma=0\)：\[ \widehat{C}-\gamma A_{\mathcal{A}} = |c_j(\gamma)|, j \in \mathcal{A}^c \\ \Rightarrow \quad \widehat{C}-\gamma A_{\mathcal{A}}=\widehat{c}_j-\gamma a_j | -\widehat{c}_j+\gamma a_j \\ \Rightarrow \gamma = \frac{\widehat{C}-\widehat{c}_j}{A_{\mathcal{A}}-a_j} |\frac{\widehat{C}-\widehat{c}_j}{A_{\mathcal{A}}+a_j} \] 总结来说，就是:
其中\(+\)表示，如果后半部分的结果均小于0，那么\(\widehat{\gamma}=0\)。 这么做，我们就将\(c_j(\gamma)\)一直降，降到有一个和他们一样，假设这个\(j \in \mathcal{A}^c\)为\(j^*\),于是下一步更新的时候，我们需要将这个加入到\(\mathcal{A}\),\(\mathcal{A}= \mathcal{A} \cup \{j^*\}\)。 假设在LARS的第k步：
用\(X_k, \mathcal{G}_k, A_k\)和\(\mu_k\)是第k步的类似的定义，注意，我们省略了\(\mathcal{A}\)。 用\(\bar{y}_k\)来表示\(y\)在子空间\(\mathcal{L}(X_k)\)的投影，既然\(\widehat{\mu}_{k-1}\in \mathcal{L}(X_{k-1})\)（因为起点为0），所以：
第一个等式后的第二项是\(y-\widehat{\mu}_{k-1}\)在子空间\(\mathcal{L}(X_k)\)中的投影，第二个等式从(2.6)可以推得：\[ u_k = X_k A_k \mathcal{G}_k^{-1}1_k \] 又根据(2.18）便可得证。根据(2.19)可得：
又\(\widehat{\gamma}_ku_k = \widehat{\mu}_k-\widehat{\mu}_{k-1}\)：
这说明，每一次更新时，变化的向量时沿着\(\bar(y)_k-\widehat{\mu}_{k-1}\)的。 我们通过一个图片来展示： 
算法
顺便整理下算法吧，以便以后用，符号就用自己的了：
Input: 标准化后的\(X = [x_1, x_2, \ldots, x_m]\)和\(y=[y_1, \ldots, y_n]^T\), 特征数\(r\);
令：\(\mu_{\mathcal{A}}=0, \beta=[0, 0, \ldots, 0] \in \mathbb{R}^m\); 计算\(c = X^Ty\), 找出其中绝对值最大的元素，令其指标集为\(\mathcal{A}\),最大值为\(C\)，令\(X_{\mathcal{A}}=[\ldots, s_j x_j, \ldots]_{j \in \mathcal{A}}\), \(\mathcal{G_A}=X_{\mathcal{A}}^TX_{\mathcal{A}}, A_{\mathcal{A}}=(1_\mathcal{A}^T\mathcal{G_A}^{-1}1_{\mathcal{A}})^{-1/2}\), \(\mathrm{u}_{\mathcal{A}}=X_{\mathcal{A}}w_{\mathcal{A}},w_{\mathcal{A}}=A_{\mathcal{A}}\mathcal{G_A}^{-1}1_{\mathcal{A}}\) For \(k = 1, 2, \ldots, r\): 1. 根据公式(2.13)计算\(\widehat{\gamma}\),记录相应的\(j\),如果\(\widehat{\gamma}=0\)，停止迭代。 2. \(\mu_\mathcal{A}=\mu_{\mathcal{A}}+\widehat{\gamma}\mathrm{u}_{\mathcal{A}}\) 3. \(\beta = \beta+\widehat{\gamma}w_{\mathcal{A}}\otimes s_{\mathcal{A}}\) 4. 更新\(\mathcal{A}=\mathcal{A} \cup \{j\}\),\(C=C-\widehat{\gamma}A_{\mathcal{A}}\),\(c=X^T(y-\mu_\mathcal{A})\) 5. 更新\(X_{\mathcal{A}},\mathcal{G_A}, A_{\mathcal{A}}, \mathrm{u}_{\mathcal{A}}\) 输出：\(\beta, \mu_{\mathcal{A}}\) *** 注意，上面的\(w_\mathcal{A}\otimes s_\mathcal{A}\)表示对于元素相乘, \(s_{\mathcal{A}}\)表示对应的符号。还有，如果\(r=m\)，那么上面的迭代只能进行到\(r-1\)步，最后一步可以根据公式(2.19)的分解来，在代码中予以了实现。不过，利用代码进行实验的时候，发现这俩个好像不大一样
我感觉没有错。
与别的方法结合
LARS与LASSO的关系
通过对\(\gamma\)的调整， 利用LARS也能求解LASSO，证明并没有去看。
可以证明，如果\(\widehat{\beta}\)是通过LASSO求得的解，那么：
令\(d_j = s_jw_{\mathcal{A}j}, j\in \mathcal{A}\),那么对于任意的\(j \in \mathcal{A}\)：
因此，\(\beta_j({\gamma})\)改变符号发生在：
第一次改变符号发生在：
如果，所有的\(\gamma_j\)均小于0，那么\(\widetilde{\gamma}=+\infty\)。 也就是说，如果\(\widetilde{\gamma}< \widehat{\gamma}\)，为了使得\(\beta\)和\(c\)符号保持一致，我们应当选择前者作为此次的更新步长，同时将\(j\)从\(\mathcal{A}\)中移除。
LARS 与 Stagewise
代码
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltclass LARS_LASSO: def __init__(self, data, response): self.__data = data self.__response = response self.n, self.m = self.data.shape self.mu = np.zeros(self.n, dtype=float) self.beta = np.zeros(self.m, dtype=float) self.compute_c() self.compute_index() self.compute_basic() self.progress_beta = [] self.progress_mu = [] @property def data(self): return self.__data @property def response(self): return self.__response def compute_c(self): """计算关系度c""" self.c = self.data.T @ (self.response-self.mu) def compute_index(self): """找出最大值C和指标集A，以及sj""" self.index = [np.argmax(np.abs(self.c))] newc = self.c[self.index] self.maxC = np.abs(newc[0]) sign = lambda x: 1. if x >= 0 else -1. self.s = np.array( [sign(item) for item in newc], dtype=float ) def compute_basic(self): """计算一些基本的东西 index_A: A_A index_w: w_A index_u: u_A """ index_X = self.data[:, self.index] * self.s index_G = index_X.T @ index_X index_G_inv = np.linalg.inv(index_G) self.index_A = 1 / np.sqrt(np.sum(index_G_inv)) self.index_w = np.sum(index_G_inv, 1) * self.index_A self.index_u = index_X @ self.index_w def update_c(self): """更新c""" self.compute_c() def update_index(self, j): """更新指示集合 index: 指示集合A maxC: 最大的c s: 符号 """ if j in self.index: self.index.remove(j) else: self.index.append(j) self.index.sort() newc = self.c[self.index] self.maxC = np.abs(newc[0]) sign = lambda x: 1. if x >= 0 else -1. self.s = np.array( [sign(item) for item in newc], dtype=float ) def update_basic(self): """更新基本的东西""" self.compute_basic() def current_gamma(self): """找第一次改变符号的位置""" const = 999999999. d = self.s * self.index_w index_beta = self.beta[self.index] z = [] for i in range(len(d)): if -index_beta[i] * d[i] <= 0: z.append(const) else: z.append(-index_beta[i] / d[i]) z = np.array(z, dtype=float) label = np.argmin(z) themin = z[label] return themin, self.index[label] def step(self): """操作一步""" const = 9999999999. def divide(x, y): z = [] for i in range(len(x)): if x[i] * y[i] <= 0: z.append(const) else: z.append(x[i] / y[i]) return z complement_index = list(set(range(self.m)) - set(self.index)) a = self.data.T @ self.index_u complement_a = a[complement_index] complement_c = self.c[complement_index] index_reduce_a = self.index_A - complement_a index_plus_a = self.index_A + complement_a maxC_reduce_c = self.maxC - complement_c maxc_plus_c = self.maxC + complement_c min1 = divide(maxC_reduce_c, index_reduce_a) min2 = divide(maxc_plus_c, index_plus_a) totalmin = np.array( [min1, min2] ) allmin = np.min(totalmin, 0) min_beta, label2 = self.current_gamma() self.progress_beta.append(np.array(self.beta)) self.progress_mu.append(np.array(self.mu)) try: label = np.argmin(allmin) except ValueError: index_X = self.data[:, self.index] * self.s index_G = index_X.T @ index_X index_G_inv = np.linalg.inv(index_G) deltau = index_G_inv @ index_X.T @ (self.response - self.mu) self.mu = self.mu + index_X @ deltau self.beta = self.beta + deltau * self.s return 0 print(min_beta, allmin[label]) if min_beta < allmin[label]: gamma = min_beta j = label2 else: gamma = 0. if allmin[label] == const else allmin[label] j = complement_index[label] self.mu = self.mu + gamma * self.index_u self.beta[self.index] = self.beta[self.index] + (self.s * self.index_w) * gamma if self.life == 0: return 1 self.update_c() self.update_index(j) self.update_basic() return 1 def process(self, r=1): self.life = r for i in range(r): self.life -= 1 print("step:", i) self.step() self.progress_beta.append(np.array(self.beta)) self.progress_mu.append(np.array(self.mu)) index_X = self.data[:, self.index] * self.s index_G = index_X.T @ index_X index_G_inv = np.linalg.inv(index_G) deltau = index_G_inv @ index_X.T @ (self.response - self.mu) self.mu = self.mu + index_X @ deltau self.beta[self.index] = self.beta[self.index] + deltau * self.s self.progress_beta.append(np.array(self.beta)) self.progress_mu.append(np.array(self.mu)) def plot(self): """plot beta, error""" fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize=(10, 5), constrained_layout=True) beta = np.array(self.progress_beta) mu = np.array(self.progress_mu) r, m = beta.shape error = np.sum((mu - self.response) ** 2, 1) x = np.arange(1, r+1) for i in range(m): y = beta[:, i] ax[0].plot(x, y, label="feature{0}".format(i)) ax[0].text(x[-1]+0.05, y[-1], str(i)) ax[0].set_title(r"$\beta$ with iterations") ax[0].set_xlabel(r"iterations") ax[0].set_ylabel(r"$\beta$") ax[0].legend(loc="best", ncol=2) ax[1].plot(x, error) ax[1].set_title("square error with iterations") ax[1].set_xlabel("iterations") ax[1].set_ylabel("square error") plt.show()data1 = np.loadtxt("C:\\Users\\pkavs\\Desktop\\diabetes.txt", dtype=float)mu = np.mean(data1, 0)std = np.std(data1, 0)data1 = (data1 - mu) / stddata = data1[:, :10]response = data1[:, 10]test = LARS_LASSO(data, response)test.process(r=7)test.plot()print(test.progress_beta) """跟论文有出路，实验的时候并没有删除的过程，好像是要在全部特征的基础上，再进行一步，不过机制不想改了，就这样吧"""import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltclass LARS_LASSO: def __init__(self, data, response): self.__data = data self.__response = response self.n, self.m = self.data.shape self.mu = np.zeros(self.n, dtype=float) self.beta = np.zeros(self.m, dtype=float) self.compute_c() self.compute_index() self.compute_basic() self.progress_beta = [] self.progress_mu = [] @property def data(self): return self.__data @property def response(self): return self.__response def compute_c(self): """计算关系度c""" self.c = self.data.T @ (self.response-self.mu) def compute_index(self): """找出最大值C和指标集A，以及sj""" self.index = [np.argmax(np.abs(self.c))] newc = self.c[self.index] self.maxC = np.abs(newc[0]) sign = lambda x: 1. if x >= 0 else -1. self.s = np.array( [sign(item) for item in newc], dtype=float ) def compute_basic(self): """计算一些基本的东西 index_A: A_A index_w: w_A index_u: u_A """ index_X = self.data[:, self.index] * self.s index_G = index_X.T @ index_X index_G_inv = np.linalg.inv(index_G) self.index_A = 1 / np.sqrt(np.sum(index_G_inv)) self.index_w = np.sum(index_G_inv, 1) * self.index_A self.index_u = index_X @ self.index_w def update_c(self): """更新c""" self.compute_c() def update_index(self, j): """更新指示集合 index: 指示集合A maxC: 最大的c s: 符号 """ if j in self.index: self.index.remove(j) else: self.index.append(j) self.index.sort() newc = self.c[self.index] self.maxC = np.abs(newc[0]) sign = lambda x: 1. if x >= 0 else -1. self.s = np.array( [sign(item) for item in newc], dtype=float ) def update_basic(self): """更新基本的东西""" self.compute_basic() def current_gamma(self): """找第一次改变符号的位置""" const = 999999999. d = self.s * self.index_w index_beta = self.beta[self.index] z = [] for i in range(len(d)): if -index_beta[i] * d[i] <= 0: z.append(const) else: z.append(-index_beta[i] / d[i]) z = np.array(z, dtype=float) label = np.argmin(z) themin = z[label] return themin, self.index[label] def step(self): """操作一步""" const = 9999999999. def divide(x, y): z = [] for i in range(len(x)): if x[i] * y[i] <= 0: z.append(const) else: z.append(x[i] / y[i]) return z complement_index = list(set(range(self.m)) - 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